В процессе переработки
информации цифровые ЭВМ - компьютеры, оперируют числами, которые представляются
в некоторой системе счисления.
Система счисления - это совокупность приемов и правил для записи чисел цифровыми знаками. Запись числа в некоторой системе счисления часто называют кодом числа.
Элементы (символы) алфавита, которые используются для записи чисел в некоторой системе счисления, принято называть цифрами. Каждой цифре данного числа однозначно сопоставляется ее количественный (числовой) эквивалент.
Система счисления - это совокупность приемов и правил для записи чисел цифровыми знаками. Запись числа в некоторой системе счисления часто называют кодом числа.
Элементы (символы) алфавита, которые используются для записи чисел в некоторой системе счисления, принято называть цифрами. Каждой цифре данного числа однозначно сопоставляется ее количественный (числовой) эквивалент.
Алфавит —
это множество (как правило конечное) символов или букв, например латинских
букв и цифр. Примером распространённого алфавита является двоичный
алфавит {0,1}. Конечная строка — это конечная последовательность букв
алфавита. Например, двоичная строка — это строка из символов алфавита
{0,1}. Также возможно построение бесконечных последовательностей из букв
алфавита.
Позиционная
система счисления (позиционная нумерация) — система
счисления, в которой значение каждого числового знака (цифры)
в записи числа зависит от его позиции (разряда). Наиболее известной
позиционной системой счисления является десятичная система счисления. Например,
в десятичном числе 555 первая цифра справа означает 5 единиц, соседняя с ней -
5 десятков, а левая - 5 сотен.
Преобразование
целых чисел
Для перевода необходимо исходное число
разделить на основание новой системы счисления до получения целого остатка,
который является младшим разрядом числа в новой системе счисления (единицы).
Полученное частное снова делим на основание системы и так до тех пор, пока
частное не станет меньше основания новой системы счисления. Все операции
выполняются в исходной системе счисления.
Рассмотрим для примера перевод числа из
десятичной системы счисления в двоичную систему счисления.
Возьмём десятичное
число А10 = 124 и поделим его на основание двоичной системы, то
есть число 2. Деление будем производить уголком:
В результате первого деления получим
разряд единиц (самый младший разряд). В результате второго деления получим
разряд двоек. Деление продолжаем, пока результат деления больше двух. В конце
операции преобразования мы получили двоичное число 11111002.
Теперь то же самое число переведём в
восьмеричную систему счисления. Для этого число 12410 разделим на число 8:
Как мы видим, остаток от первого деления
равен 4. То есть младший разряд восьмеричного числа содержит цифру 4. Остаток
от второго деления равен 7. то есть второй разряд восьмеричного числа – это цифра
7. Старший разряд получился равным 1. То есть в результате многократного
деления мы получили восьмеричное число 1748.
Проверим, не ошиблись ли мы в процессе
преобразования? Для этого преобразуем получившееся двоичное число в десятичную
систему по обычной формуле разложения:
1×82+7×81+4×80=6410+5610+410=124
;А можно ли осуществить перевод из
восьмеричной системы счисления в двоичную делением? Можно! Но деление нужно
произвести по правилам восьмеричной арифметики. Правила работы в восьмеричной
системе счисления мы рассмотрим в следующей главе. Тем не менее, для полноты
материала, рассмотрим пример перевода в двоичную форму полученного ранее
восьмеричного числа 1748. Разделим его на основание новой системы счисления 2.
Как мы убедились выполнять деление в
восьмеричной системе очень неудобно, ведь подсознательно мы делим в десятичной
системе счисления. Давайте обратим внимание на то, что число 8 является
степенью числа 2. То есть можно считать восьмеричную систему счисления просто
более короткой записью двоичного числа. Это означает, что для представления
восьмеричной цифры можно использовать три двоичных бита (8=23). Давайте
составим таблицу соответствия. Она приведена в таблице 1.
Таблица 1. Таблица соответствия
восьмеричных цифр и двоичного кода
Двоичный код
|
Восьмеричная цифра
|
Десятичный эквивалент
|
000
|
0
|
0
|
001
|
1
|
1
|
010
|
2
|
2
|
011
|
3
|
3
|
100
|
4
|
4
|
101
|
5
|
5
|
110
|
6
|
6
|
111
|
7
|
7
|
Используя эту таблицу можно просто
заменить каждую восьмеричную цифру тремя двоичными битами. Три двоичных бита
обычно называют триадой или трибитом. Теперь давайте переведём восьмеричное
число 1748 в двоичную форму при помощи таблицы 7:
Аналогично можно выполнить перевод числа
из двоичной системы в восьмеричную. Для этого двоичное число разбивают на
триады относительно крайнего правого разряда (или двоичной запятой) и,
используя таблицу 7, каждой триаде ставят в соответствие восьмеричную
цифру.
Аналогичным образом можно выполнить
перевод числа из шестнадцатеричной формы в двоичную и обратно. В этом случае
для представления шестнадцатеричной цифры потребуется четыре двоичных разряда.
Четыре двоичных разряда обычно называют тетрадой. Иногда при переводе иностранных
книг используется термин нибл.
Давайте составим таблицу соответствия
двоичных тетрад и шестнадцатеричных цифр. Для этого мы будем просто прибавлять
единицу к значению предыдущей строки в каждом столбце таблицы, в соответствии с
используемой в этом столбце системой счисления. Результат приведён в
таблице 2.
В качестве примера использования
таблицы 2 переведем шестнадцатеричное число 7С16 в двоичную форму
представления:
Таблица 2. Таблица соответствия
шестнадцатеричных цифр и двоичного кода
Двоичный код
|
Восьмеричная цифра
|
Десятичный эквивалент
|
0000
|
0
|
0
|
0001
|
1
|
1
|
0010
|
2
|
2
|
0011
|
3
|
3
|
0100
|
4
|
4
|
0101
|
5
|
5
|
0110
|
6
|
6
|
0111
|
7
|
7
|
1000
|
8
|
8
|
1001
|
9
|
9
|
1010
|
a
|
a
|
1011
|
b
|
b
|
1100
|
c
|
c
|
1101
|
d
|
d
|
1110
|
e
|
e
|
1111
|
f
|
f
|
Пример преобразования двоичного числа в восьмеричную
и шестнадцатеричную форму приведён на рисунке 1.
Рисунок 1. Пример преобразования
двоичного числа в восьмеричную и шестнадцатеричную форму.
На этом рисунке внизу выделены двоичные
тетрады и соответствующие им шестнадцатеричные цифры. Их соответствие можно
проверить при помощи таблицы 2. Сверху выделены триады и соответствующие
им восьмеричные цифры. Старшая триада получилась неполной. Её нужно дополнить
старшими незначащими нулями для того, чтобы можно было бы воспользоваться
таблицей 1.
Вопрос 5 (Представление информации в цифровых автоматах. Понятие
кодирования. Алфавит. Позиционные системы счисления. Преобразование целых
неотрицательных чисел из одной системы счисления в другую.)
ЦА
представляет собой последовательностную схему и служит для
обработки дискретной информации.
В процессе переработки информации цифровые ЭВМ -
компьютеры, оперируют числами, которые представляются в некоторой системе
счисления.
Система счисления - это совокупность приемов и правил для
записи чисел цифровыми знаками. Запись числа в некоторой системе счисления
часто называют кодом числа.
Непозиционная система счисления - это
система, для которой значение символа, т.е. цифры, не зависит от его положения
в числе. К таким системам относится, в частности, римская система (правда с
некоторыми оговорками). Здесь, например, символ V всегда означает пять, вне зависимости от
места его появления в записи числа. Есть и другие современные непозиционные
системы.
Позиционная система счисления - это
система, в которой значение каждой цифры зависит от ее числового эквивалента и
от ее места (позиции) в числе, т.е. один и тот же символ (цифра) может
принимать различные значения.
Наиболее известной позиционной системой счисления
является десятичная система счисления. Например, в десятичном числе 555 первая
цифра справа означает 5 единиц, соседняя с ней - 5 десятков, а левая - 5 сотен.
Кодирование
Закодировать текст – значит
сопоставить ему другой текст. Кодирование применяется
при передаче данных – для того, чтобы зашифровать текст от посторонних, чтобы
сделать передачу данных более надежной, потому что канал передачи данных может
передавать только ограниченный набор символов (например, - только два символа,
0 и 1) и по другим причинам.
При
кодировании заранее определяют алфавит, в котором записаны исходные тексты (исходный алфавит) и алфавит, в
котором записаны закодированные тексты (коды),
этот алфавит называется кодовым алфавитом.
В качестве кодового алфавита часто используют двоичный алфавит, состоящий из двух символов (битов) 0 и 1. Слова в двоичном
алфавите иногда называют битовыми последовательностями.
Алфавит — это множество символов или букв, например латинских
букв и цифр. Примером распространённого алфавита является двоичный алфавит {0,1}.
Основные символы языка —
буквы, цифры и специальные символы — составляют его алфавит. Обычно язык
программирования включает следующий набор основных символов:
1.
строчные и прописные буквы латинского и
национального алфавитов
2.
цифры
3.
знаки операций: + — * / = < : @ & |
4.
символ подчеркивания _ и пробела
5.
ограничители и разделители: . , ' ( ) [ ] { }
6.
специальные символы: ^ # $ и др.
С помощью символов алфавита записываются служебные слова, которые
составляют словарь языка.
